Frierson

L.S. Frierson arbeitet wie de la Hire mit zwei Hilfsquadraten, die überlagert werden. Während bei de la Hire die Mittelzahlen aber nur auf den Diagonalen anordnet sind, arbeitet Frierson mit einer geometrischen Anordnung dieser Zahlen, die symmetrische magische Quadrate erzeugt.

• Platziere die mittlere der Zahlen 1, 2, 3, … , n in die mittlere Zelle des Quadrates. Im Beispiel der Ordnung n=5 wäre dies also die Zahl 3.
• Die n-1 restlichen Mittelzahlen werden nun paarweise symmetrisch zu dieser Zahl angeordnet. Dabei muss aber sichergestellt werden, dass in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal diese Zahl auftritt.
• Das zweite Hilfsquadrat wird absolut identisch gefüllt, nur dass die Mittelzahl des ersten Hilfsquadrates durch die Mittelzahl der Zahlenfolge 0, n, 2n, 3n, … ersetzt wird. In Beispiel n=5 wäre dies die Zahl 10.
• Zusätzlich wird dieses Hilfsquadrat noch an der vertikalen Mittelachse gespiegelt.

Danach werden die mittlere Zeilen der beiden Hilfsquadrate gefüllt.

• Nehme für das erste Hilfsquadrat die restlichen Zahlen der Zahlenfolge 1, 2, 3, … , n und platziere sie symmetrisch zur Mittelzelle. Damit muss die Summe horizontal symmetrisch liegender Zahlenpaare immer n+1 ergeben.
• Verfahre ebenso mit dem restlichen Zahlen der Zahlenfolge 0, n, 2n, 3n, … für das zweite Hilfsquadrat. Auch hier muss die Summe der Zahlenpaare immer gleich sein. Als Summe ergibt sich hier (n-1) · n.

Nun müssen nur noch die restlichen Zeilen der beiden Hilfsquadrate so aufgefüllt werden, dass die Zahlen in der gleichen relativen Reihenfolge erscheinen wie in der mittleren Zeile. Durch Überlagerung der beiden Hilfsquadrate entsteht dann ein symmetrisches magisches Quadrat.

Dieses Verfahren kann auf alle höheren Ordnungen übertragen werden. Die folgende Abbildung zeigt ein mit diesem Verfahren konstruiertes magisches Quadrat der Ordnung 7.

Dieses Verfahren von Frierson ist sehr universell und erzeugt eine Vielzahl von symmetrischen magischen Quadraten. Dies liegt u.a. darin begründet, dass die Zahlen in der mittleren Zeile auf sehr unterschiedliche Art und Weise angeordnet werden können. Von noch größerer Bedeutung sind die vielfältigen geometrischen Anordnungen, von denen man ausgehen kann. Um eine Vorstellung von der Vielfalt zu vermitteln, sind in der nächsten Abbildung einige der geometrischen Anordnungen für die Ordnung n=7 dargestellt.

In den bisherigen Beispielen wurden die Mittelzahlen ausschließlich im linken oberen und rechten unteren Bereich platziert. Es können aber natürlich auch die anderen beiden Bereiche benutzt werden. Damit erschließt sich eine große Vielfalt von Möglichkeiten, von denen eine weitere kleine Auswahl von unterschiedlichen Anordnungen hier dargestellt wird.

Für die Ordnung n=5 existieren 64 unterschiedliche Anordnungen, mit denen 96 unterschiedliche symmetrische Quadrate erzeugt werden können. Für n=7 existieren bereits 2304 Anordnungen und die Zahl der mögliche Quadrate wächst mit zunehmender Ordnung rapide.