Travers
Bei der Methode von J. Travers geht man von außen nach innen vor. Es wird zunächst der äußere Rahmen des Quadrates der Ordnung n gefüllt, dann der Rand des darin eingelagerten Quadrates der Ordnung n − 2 usw. Der gesamte Rand umfasst genau
2n + (2n − 2) =4n − 2
Zahlen. Damit paarweise ein Ausgleich geschaffen werden kann, fasst er, wie schon von Frénicle beschrieben, die Zahlen 1, … , 2n-2 und deren Komplemente paarweise zusammen. Da n ungerade ist, folgt mit n=2k+1
2n - 2=2 · (2k+1) - 2=4k+2 - 2=4k
dass insgesamt 4k Zahlen zu verteilen sind. Travers teilt sie in vier gleich große Gruppen auf:
1, 2, … , k
k+1, k+2, … , 2k
2k+1, 2k+2, … , 3k
3k+1, 3k+2, … , 4k
Für den Fall n=7 erhält man also die Zahlensequenzen (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) und (10,11,12). Diese verteilt er nun wie folgt:
- Die Zahlen (1,2,3) platziert er in die oberste Zeile, wobei die linke obere Ecke frei bleibt.
- Die erste Zahl der zweite Zahlengruppe wird in der rechten unteren Ecke eingetragen. Die restlichen Zahlen werden in der rechten Spalte eingetragen, wobei man direkt unter der rechten oberen Ecke beginnt und sich abwärts bewegt.
- Die erste Zahl der dritten Gruppe wird genau in die Mitte der linken Spalte platziert, während die restlichen k − 1 Zahlen in die untere Zeile eingetragen werden. Dabei beginnt man rechts neben der mittleren Zelle und bewegt sich nach rechts.
- Abschließend werden die Zahlen der vierten Gruppe in die linke Spalte geschrieben. Man beginnt in der linken unteren Ecke und schreitet nach oben fort.
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1 2 3 5 6 7 12 11 10 8 9 4 -
46 1 2 3 42 41 40 45 5 44 6 7 43 12 38 11 39 10 49 48 47 8 9 4
Sind alle Zahlen eingetragen, werden die komplementären Zahlen in die horizontal bzw. vertikal gegenüberliegende Zellen eingetragen. Nur die beiden unteren Ecken bilden eine Ausnahme, denn bei ihnen wird das Komplement in die diagonal gegenüberliegenden Ecken geschrieben.
Nachdem der Rand des Quadrates der Ordnung 7 vollständig gefüllt ist, geht es mit dem Rand des eingelagerten Teilquadrates der Ordnung n=5 weiter. Da insgesamt 8 Zahlen mit ihren Komplementen platziert werden müsse und die Zahlen 1, 2, … , 12 bereits vergeben wurden, werden nun die Zahlen 13, 14, … , 20 benutzt.
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46 1 2 3 42 41 40 45 13 14 5 44 16 6 7 17 43 12 20 38 11 19 18 15 39 10 49 48 47 8 9 4 -
46 1 2 3 42 41 40 45 35 13 14 32 31 5 44 34 16 6 7 17 33 43 12 20 30 38 11 19 37 36 18 15 39 10 49 48 47 8 9 4
Entsprechend verfährt man mit dem inneren Teilquadrat der Ordnung n=3.
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46 1 2 3 42 41 40 45 35 13 14 32 31 5 44 34 21 16 6 7 17 23 33 43 12 20 24 22 30 38 11 19 37 36 18 15 39 10 49 48 47 8 9 4 -
46 1 2 3 42 41 40 45 35 13 14 32 31 5 44 34 28 21 26 16 6 7 17 23 27 33 43 12 20 24 29 22 30 38 11 19 37 36 18 15 39 10 49 48 47 8 9 4
Danach bleibt nur noch die mittlere Zelle über, in die der Medianwert aller beteiligten Zahlen eingetragen wird, hier also 25. In der folgenden Abbildung ist das nach diesem Algorithmus von Travers erzeugte fortgesetzt gerahmte magische Quadrat der Ordnung n=7 dargestellt.
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46 1 2 3 42 41 40 45 35 13 14 32 31 5 44 34 28 21 26 16 6 7 17 23 25 27 33 43 12 20 24 29 22 30 38 11 19 37 36 18 15 39 10 49 48 47 8 9 4 -
46 1 2 3 42 41 40 45 35 13 14 32 31 5 44 34 28 21 26 16 6 7 17 23 25 27 33 43 12 20 24 29 22 30 38 11 19 37 36 18 15 39 10 49 48 47 8 9 4
Die folgende Abbildung zeigt weitere mit dem Verfahren von Travers hergestellte magische Quadrate der Ordnungen n=5 und n=9 dargestellt.
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23 1 2 20 19 22 16 9 14 4 5 11 13 15 21 8 12 17 10 18 7 25 24 6 3 -
77 1 2 3 4 72 71 70 69 76 62 17 18 19 58 57 56 6 75 61 51 29 30 48 47 21 7 74 60 50 44 37 42 32 22 8 9 23 33 39 41 43 49 59 73 16 28 36 40 45 38 46 54 66 15 27 35 53 52 34 31 55 67 14 26 65 64 63 24 25 20 68 13 81 80 79 78 10 11 12 5