Abu’l-Wafa al-Buzjani

Abu’l-Wafa al-Buzjani (940 – 997/998) war ein herausragender persischer Mathematiker und Astronom des Mittelalters, welcher u.a. mehrere Bücher über Mathematik schrieb. Sein Abhandlung über magische Quadrate unterschiedlicher Ordnungen ist eines der beiden ältesten bekannten Werke über dieses Thema.

Bei vielen Verfahren aus dem arabischen Raum werden die Quadrate rahmenweise von außen nach innen gefüllt. Auch Abu’l-Wafa al-Buzjani beginnt mit der äußeren Umrandung, die nach einem bestimmten Schema mit den ersten 2 n − 2 Zahlen gefüllt wird. Im Fall der Ordnung n=9 sind dies also 2 · 9 − 2=16 Zahlen. Er geht folgendermaßen vor:

• Die ersten k − 1 ungeraden Zahlen werden in der linken Spalte platziert. Dabei beginnt man oberhalb der linken unteren Ecke und schreitet nach oben mit den ungeraden fort. Mit n=2k + 1, also k=4 werden also die Zahlen 1, 3, 5 in dieser Spalte platziert.
• Die nächste ungerade Zahl 7 wird in die Mitte der unteren Zeile eingetragen und die darauf folgende ungerade Zahl in die Mitte der rechten Spalte.
• Die noch verbleibenden k − 1 ungeraden Zahlen werden schließlich in aufsteigender Reihenfolge in die noch freien Plätze oberhalb der Mitte der rechten Spalte platziert.
• Nun folgen die geraden Zahlen. Die ersten k −1 geraden Zahlen 2, 4 und 6 werden rechts neben der linken unteren Ecke nach rechts fortschreitend eingetragen.
• Die nächsten beiden geraden Zahlen folgen einzeln in die linke bzw. rechte obere Ecke des Quadrats.
• Die noch verbleibenden 2 · (k − 1) Zahlen finden ihren Platz in der oberste Zeile. Man beginnt rechts neben der Mitte und füllt aufsteigend die freien Plätze bis zur rechten oberen Ecke.

Abschließend werden die noch freien Felder mit den Komplementen der bereits eingetragenen Zahlen gefüllt. Diese Komplemente kommen immer in das gegenüberliegende Ende der jeweiligen Zeile bzw. Spalte. Eine Ausnahme bilden nur die beiden oberen Ecken. Ihr Komplement muss wie immer bei gerahmten magischen Quadraten in die diagonal gegenüberliegende Ecke eingetragen werden.

Dieses Verfahren kann nun von außen nach innen fortgeführt werden. Für den Rand des inneren Teilquadrates der Ordnung n=7 folgt damit

Entsprechend verfährt man mit den restlichen Teilquadraten, bis schließlich das vollständige fortgesetzt konzentrische magische Quadrat entstanden ist.

Bemerkungen:

• Die Zahl, die der Ordnung des magischen Quadrats entspricht, befindet sich immer in der Mitte der rechten Spalte.
• Die mittleren neun Zahlen der Zahlensequenz von 1 bis n² befinden sich in der innersten Teilquadrat der Größe 3x3.
• Der Median aller eingetragenen Zahlen, also 41, befindet sich im Mittelpunkt des Quadrates.

Dieses Verfahren funktioniert für alle ungeraden Ordnungen. Zwei weitere Beispiele für n = 5 und n = 7 sind in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.

Varianten

In der arabischen Literatur findet man auch leicht veränderte Quadrate findet, bei denen die auf die rechte obere Ecke zulaufenden Zahlensequenzen nicht wie im vorherigen Beispiel aufsteigend, sondern absteigend angeordnet sind.

In der nachfolgenden Abbildung sind die beiden veränderten Bereiche der äußeren Umrandung markiert.

Bei einer anderen Variante werden die Zahlen in den beiden oberen Ecken verändert und hier die Zahlen 4k − 2 und 4k gewählt. Damit verändern sich natürlich auch die anderen geraden Zahlen in der oberen Zeile. Auch hier sind wieder nur die Änderungen in der nachfolgenden linken Abbildung dargestellt.

Ebenso findet man Quadrate wie in rechten Abbildung, bei denen die ungeraden und geraden Zahlen nicht an einer gemeinsamen Ecke beginnend eingetragen werden, sondern an unterschiedlichen Ecken.