Abu’l-Wafa al-Buzjani

Abu’l-Wafa al-Buzjani (940 – 997/998) war ein herausragender persischer Mathematiker und Astronom des Mittelalters, welcher u.a. mehrere Bücher über Mathematik schrieb. Sein Abhandlung über magische Quadrate unterschiedlicher Ordnungen ist eines der beiden ältesten bekannten Werke über dieses Thema.

Bei vielen Verfahren aus dem arabischen Raum werden die Quadrate rahmenweise von außen nach innen gefüllt. Auch Abu’l-Wafa al-Buzjani beginnt mit der äußeren Umrandung, die nach einem bestimmten Schema mit den ersten 2 n − 2 Zahlen gefüllt wird. Im Fall der Ordnung n=9 sind dies also 2 · 9 − 2=16 Zahlen. Er geht folgendermaßen vor:

Abschließend werden die noch freien Felder mit den Komplementen der bereits eingetragenen Zahlen gefüllt. Diese Komplemente kommen immer in das gegenüberliegende Ende der jeweiligen Zeile bzw. Spalte. Eine Ausnahme bilden nur die beiden oberen Ecken. Ihr Komplement muss wie immer bei gerahmten magischen Quadraten in die diagonal gegenüberliegende Ecke eingetragen werden.

  • 812141610
    15
    13
    11
    9
    5
    3
    1
    2467
  • 88078767512141610
    6715
    6913
    7111
    739
    577
    379
    181
    72246770686674

Dieses Verfahren kann nun von außen nach innen fortgeführt werden. Für den Rand des inneren Teilquadrates der Ordnung n=7 folgt damit

  • 88078767512141610
    672226282415
    692713
    712511
    73239
    51977
    31779
    118202181
    72246770686674
  • 88078767512141610
    672264626126282415
    69552713
    71572511
    7359239
    5196377
    3176579
    15818202156546081
    72246770686674

Entsprechend verfährt man mit den restlichen Teilquadraten, bis schließlich das vollständige fortgesetzt konzentrische magische Quadrat entstanden ist.

88078767512141610
672264626126282415
695532525136342713
715747384540352511
73594943413933239
51929423744536377
31748303146506579
15818202156546081
72246770686674

Bemerkungen

Dieses Verfahren funktioniert für alle ungeraden Ordnungen. Zwei weitere Beispiele für n = 5 und n = 7 sind in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.

  • 4242386
    191017127
    211513115
    11491625
    20231822
  • 648464510128
    39163635201811
    4131222924199
    4333272523177
    3132621283747
    1321415303449
    42245403844

Varianten

In der arabischen Literatur findet man auch leicht veränderte Quadrate findet, bei denen die auf die rechte obere Ecke zulaufenden Zahlensequenzen nicht wie im vorherigen Beispiel aufsteigend, sondern absteigend angeordnet sind.

In der nachfolgenden Abbildung sind die beiden veränderten Bereiche der äußeren Umrandung markiert.

88078767516141210
712264626128262411
695732525136342513
675547384540352715
73594943413933239
51929423744536377
31748303146506579
15818202154566081
72246766687074

Bei einer anderen Variante werden die Zahlen in den beiden oberen Ecken verändert und hier die Zahlen 4k − 2 und 4k gewählt. Damit verändern sich natürlich auch die anderen geraden Zahlen in der oberen Zeile. Auch hier sind wieder nur die Änderungen in der nachfolgenden linken Abbildung dargestellt.

  • 14807876758101216
    672664626122242815
    695534525132362713
    715747384540352511
    73594943413933239
    51929423744536377
    31746303150486579
    15418202160585681
    66246774727068
  • 14121087576788016
    672624226162642815
    695534325152362713
    715747384540352511
    73594943413933239
    51929423744536377
    31746503130486579
    15458602120185681
    66707274764268

Ebenso findet man Quadrate wie in rechten Abbildung, bei denen die ungeraden und geraden Zahlen nicht an einer gemeinsamen Ecke beginnend eingetragen werden, sondern an unterschiedlichen Ecken.