Methode der Umkehrungen
Mit dieser Methode kann man auf sehr einfache Art und Weise magische Quadrate der Ordnungen n=4k erzeugen. Sie stammt von C. Planck und wurde erstmals im Buch von W.S. Andrews vorgestellt. Man geht von einem Quadrat in natürlicher Anordnung aus und kehrt zunächst die mittleren n/2 Zeilen um.
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 -
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 23 22 21 20 19 18 17 32 31 30 29 28 27 26 25 40 39 38 37 36 35 34 33 48 47 46 45 44 43 42 41 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
In einem zweiten Schritt werden anschließend die mittleren n/2 Spalten umgekehrt und es entsteht ein magisches Quadrat.
| 1 | 2 | 59 | 60 | 61 | 62 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 51 | 52 | 53 | 54 | 15 | 16 |
| 24 | 23 | 46 | 45 | 44 | 43 | 18 | 17 |
| 32 | 31 | 38 | 37 | 36 | 35 | 26 | 25 |
| 40 | 39 | 30 | 29 | 28 | 27 | 34 | 33 |
| 48 | 47 | 22 | 21 | 20 | 19 | 42 | 41 |
| 49 | 50 | 11 | 12 | 13 | 14 | 55 | 56 |
| 57 | 58 | 3 | 4 | 5 | 6 | 63 | 64 |
Variante 1
Bei dieser Konstruktion müssen nicht unbedingt die mittleren n/2 Zeilen und Spalten umgekehrt werden. Ebenso gut kann man aus der unteren Hälfte des Quadrates beliebige n/4 Zeilen aussuchen und diese sowie ihre vertikal symmetischen Partnerzeilen umkehren. Ebenso gut könne auch beliebige n/4 Spalten aus der linken Hälfte des Quadrates sowie ihre horizontal symmetrischen Partnerspalten umgekehrt werden. Auch in diesen Fällen ergibt sich immer ein magisches Quadrat.
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1 2 3 4 5 6 7 8 16 15 14 13 12 11 10 9 24 23 22 21 20 19 18 17 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 48 47 46 45 44 43 42 41 56 55 54 53 52 51 50 49 57 58 59 60 61 62 63 64 -
1 58 3 60 61 6 63 8 16 55 14 53 52 11 50 9 24 47 22 45 44 19 42 17 25 34 27 36 37 30 39 32 33 26 35 28 29 38 31 40 48 23 46 21 20 43 18 41 56 15 54 13 12 51 10 49 57 2 59 4 5 62 7 64
Variante 2
Wie bei der ersten Variante werden zunächst beliebige n/4 Zeilen aus der unteren Hälfte des Quadrates sowie ihre vertikal symmetrischen Partnerzeilen ausgesucht. Diese n/2 Zeilen werden nun um 180° gedreht. Danach sucht man sich wieder n/4 Spalten aus der linken Hälfte sowie ihre horizontal symmetrischen Partnerspalten aus und dreht diese ebenso um 180°. Danach ist wiederum ein magisches Quadrat entstanden.
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64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -
64 2 62 4 5 59 7 57 56 10 54 12 13 51 15 49 17 47 19 45 44 22 42 24 25 39 27 37 36 30 34 32 33 31 35 29 28 38 26 40 41 23 43 21 20 46 18 48 16 50 14 52 53 11 55 9 8 58 6 60 61 3 63 1
Variante 3
In dieser Variante werden die Zeilen und Spalten wie in den anderen beiden Varianten ausgesucht, allerdings unterschiedlich verarbeitet. Es entsteht nämlich auch ein magisches Quadrat, wenn man die Zeilen umkehrt und die Spalten um 180° dreht bzw. umgekehrt. Im angegebenen Beispiel wurden zunächst die ausgewählten Zeilen umgekehrt und anschließend die Spalten gedreht.
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8 7 6 5 4 3 2 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 32 31 30 29 28 27 26 25 40 39 38 37 36 35 34 33 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 64 63 62 61 60 59 58 57 -
57 58 6 5 4 3 63 64 56 55 11 12 13 14 50 49 48 47 19 20 21 22 42 41 33 34 30 29 28 27 39 40 25 26 38 37 36 35 31 32 24 23 43 44 45 46 18 17 16 15 51 52 53 54 10 9 1 2 62 61 60 59 7 8