Gerahmte magische Quadrate

Ein gerahmtes oder umrandetes magisches Quadrat ist ein magisches Quadrat, das auch dann noch magisch bleibt, wenn man seinen Rand entfernt. Entfernen wir in dem dargestellten magischen Quadrat der Ordnung 8 die linke und rechte Spalte sowie die oberste und die unterste Zeile. Dann erhalten wir ein neues magisches Quadrat der Ordnung 6.

Dieses Quadrat ist zwar nicht mehr normalisiert, besteht also nicht mehr aus den Zahlen 1, 2, … , n². Es besitzt aber weiterhin die Eigenschaft, dass alle Zeilensummen, alle Spaltensummen und die Diagonalensummen mit S=195 identisch sind.

Als zweite Bedingung für ein gerahmtes magisches Quadrat wird gefordert, dass die Randzahlen die Zahlen des inneren magischen Quadrats umschließen. Bei einem Quadrat der Ordnung n bedeutet dies, dass die Zahlen 1, … ,2(n−1) und n²−2(n−1) + 1 , … , n² den Rand und die dazwischenliegenden Zahlen das innere Quadrat bilden.

Machen wir uns diese Überlegung an einem Beispiel der Ordnung n=6 klar. Eingeschlossen wird ein Quadrat der Ordnung n=4, welches aus 4²=16 Zahlen besteht. Damit wird der Rand von

6² − 4² = 36 − 16 = 20

Zahlen gebildet. Da diese 20 Zahlen das innere Quadrat umschließen müssen, haben wir 10 Zahlen, die kleiner und 10 Zahlen die größer als die Elemente des inneren Quadrats sind. Damit ergibt sich folgende Aufteilung:

Damit ergibt sich beispielsweise das folgende gerahmte magische Quadrat sechster Ordnung: