Shen: reguläre und spezielle Muster

Ching Tseng Shen geht bei seiner Methode von einem Quadrat in natürlicher Anordnung aus, bei dem er dann n/4 Paare von horizontal symmetrisch liegenden Spalten und ebenso viele vertikal symmetrisch liegende Zeilen umkehrt. Damit entspricht dieses Verfahren dem Verfahren der Umkehrungen, dass schon Planck beschrieben hat.

12345678
910111213141516
1718192021222324
2526272829303132
3334353637383940
4142434445464748
4950515253545556
5758596061626364

Zur Verdeutlichung kennzeichnet Shen die unveränderten Zeilen mit l und die umgekehrten mit r, sowie die normalen Spalten mit t und die umgekehrten mit b.

87654321r
910111213141516l
2423222120191817r
2526272829303132l
3334353637383940l
4847464544434241r
4950515253545556l
6463626160595857r
tbtbbtbt
863661603581r
950115253145516l
2447224544194217r
2534273637303932l
3326352829383140l
4823462120431841r
4910511213541556l
647625459257r
tbtbbtbt

Shen führt dann aus, dass es für n=4 genau zwei dieser symmetrischen Muster gibt, die er regulär nennt, nämlich lrrl und rllr. Für n=8 existieren dagegen bereits sechs dieser Muster.

llrrrrlllrrllrrlrlrllrlr
lrlrrlrlrllrrllrrrllllrr
und für n=10 sind es bereits 20 Muster.
lllrrrrrrllllrlrlrrlrlrlrlllrrrrlllrrlrrllllrrlr
llrlrrrrlrlllrlrrllrrlrlrllrlrrlrllrrrlllrrlllrr
llrrlrrlrrlllrrllrrllrrlrllrrllrrllrrrllrllrllrr
llrrrllrrrlllrrlrllrlrrlrlrllrrllrlrrrlrllllrlrr
lrllrrrrllrllrrrllllrrrlrlrlrllrlrlrrrrllllllrrr

Diese regulären Muster kann man entsprechend auf die Spalten übertragen, wobei die Kennzeichnungen lr für die Zeilen dabei natürlich durch tb ersetzt werden.

Jede beliebige Kombination dieser regulären Muster erzeugt ein magische Quadrat, wobei es keine Rolle spielt, ob zuerst die Zeilen und dann die Spalten entsprechend ihren Kennzeichnungen umgekehrt werden oder umgekehrt. Die entstehenden magische Quadrate sind unabhängig von der Reihenfolge der Vertauschungen stets identisch.

Spezielle Muster

Shen geht aber einen Schritt weiter und führt zusätzlich spezielle Muster ein. Diese setzen sich aus beliebigen regulären Mustern niedrigerer Ordnungen zusammen und sind damit natürlich nicht mehr symmetrisch angeordnet. Für n=12 gibt es z.B. folgende 20 spezielle Muster für die Zeilen:

llrrrrlllrrlrrllllrrlrrllrrllrlrrlrllrrlrlrllrlr
rrllllrrrllrrllrllrrrrllrllrrlrllrlrlrrllrrlrllr
lrrlllrrrrlllrrlrrllllrrlrlrrlrlrllrrllrrllrlrrl
rllrrrllllrrlrlrrlrllrrlrlrllrlrlrrlrllrlrrllrrl
llrrrrllrllrrlrllrlrrllrrllrlrlrrlrllrrlrllrrllr

Mit den regulären und speziellen Mustern lassen sich jetzt weitere magische Quadrate erzeugen, wobei die Reihenfolge der Vertauschungen hier wichtig ist.

Ein solches Beispiel mit einem regulären Muster für die Zeilen und einem speziellen Muster für die Spalten ist in der folgenden Abbildung für ein Quadrat der Ordnung 12 dargestellt. Hier werden zuerst die Zeilen

123456789101112l
242322212019181716151413r
252627282930313233343536l
373839404142434445464748l
605958575655545352515049r
727170696867666564636261r
848382818079787776757473r
969594939291908988878685r
979899100101102103104105106107108l
109110111112113114115116117118119120l
132131130129128127126125124123122121r
133134135136137138139140141142143144l
btbttbtbbttb

und danach die Spalten umgekehrt und es entsteht ein magisches Quadrat.

13321354513871401411011144l
132231302120127181251241514121r
109261112829114311161173435120l
9738994041102431041054647108l
965994575691548988515085r
847182696879667776636273r
728370818067786564757461r
609558939255905352878649r
37983910010142103444510610748l
251102711211330115323311811936l
241312212912819126171612312213r
1134313613761398914214312l
btbttbtbbttb