Anzahl panmagischer Quadrate

Kompliziert ist Antwort auf die Frage nach der Anzahl panmagischer Quadrate, da es sie für bestimmte Ordnungen gar nicht gibt.

Lange Zeit war man auch der Meinung, dass es keine panmagischen Quadrate gäbe, deren Ordnung ein Vielfaches von 3 ist. Doch für deren Konstruktion sind inzwischen Algorithmen bekannt.

Schauen wir uns ein panmagische Quadrat 5. Ordnung etwas genauer an. Für die Analyse dieses Quadrats vermindern wir alle Werte um 1.

182210141
91131725
22024613
21812519
15416237
17219130
81021624
11923512
20711418
14315226

Nun machen wir es scheinbar kompliziert und stellen alle Zahlen im Fünfersystem dar. Dies macht jetzt keinerlei Probleme mehr, da alle Zahlen durch die Subtraktion im Bereich von 0 bis 24 liegen und dadurch mit zwei Ziffern darzustellen sind.

Zur besseren Übersicht haben wir die Zahlen zusätzlich noch etwas anders dargestellt: die Fünferziffern haben wir als Großbuchstaben und die Einerziffern als Kleinbuchstaben geschrieben. So kann man die verschiedenen Bedeutungen der Ziffern besser unterscheiden.

324114230
132023144
134431022
401221433
243304211
DcEbBeCdAa
BdCaAcDbEe
AbDeEdBaCa
EaBcCbAeDd
CeAdDaEcBb

Eine vollkommen symmetrische Anordnung, denn in jeder Zeile und Spalte, in jeder Diagonalen und sogar in jeder gebrochenen Diagonalen findet sich jeder Großbuchstabe und jeder Kleinbuchstabe jeweils einmal. Wenn wir die Buchstaben durch die Fünferziffern und Einerziffern aus dem Fünfersystem ersetzen und jedes einzelne Ergebnis um den Wert 1 erhöhen, muss sich zwangsläufig ein panmagisches Quadrat ergeben.

Fangen wir also an und zählen die Anzahl der verschiedenen Quadrate, die mit diesem Schema erzeugt werden können. Zunächst können wir entscheiden, ob wir die Großbuchstaben oder die Kleinbuchstaben mit den Einer- bzw. den Fünferziffern belegen. Damit haben wir m1=2 Möglichkeiten.

Wenn wir uns entscheiden, dass die Großbuchstaben mit den Fünferziffern belegt werden sollen, ordnen wir den Zellen mit den Zahlen 0, 1, 2, …, n−1 die Werte 0, 5, 10, … , 5(n−1) zu. Das bedeutet 5 Möglichkeiten für den Buchstaben A. Nachdem A gewählt wurde, bleiben für den Buchstaben B noch vier Möglichkeiten offen, für C 3 usw. Also ergeben sich für die Belegung der Großbuchstaben m2=120 Möglichkeiten.

m2=5 · 4 · 3 · 2 · 1=5!=120

Die Kleinbuchstaben müssen dann mit den Werten 0, 1, 2, … , n−1 belegt werden. Auch hier ergeben sich m3=120 Möglichkeiten.

m3=5 · 4 · 3 · 2 · 1=5!=120

Damit gibt es 28 800 panmagische Quadrate 5. Ordnung, die mit dem vorgestellten Algorithmus erzeugt werden können.

m=m1 · m2 · m3
=2! · 5! · 5!
=2 · 120 · 120
=28 880

Aus der angesprochenen Symmetrie lässt sich auch schnell folgern, dass es keine weiteren mehr geben kann. Allerdings sind sie natürlich nicht alle verschieden, da sie teilweise wieder durch Drehungen und Spiegelungen auseinander erzeugt werden. Untersuchungen haben ergeben, dass es insgesamt 3600 unterschiedliche panmagische Quadrate gibt.

Wenn man die Verwandschaft zweier panmagischer Quadrate ganz eng auslegt, muss man diese Ergebnisse noch leicht verändern. Panmagische Quadrate kann man nämlich nicht nur wie normale magische Quadrate durch Drehungen und Spiegelungen auseinander erzeugen, sondern auch durch Verschiebungen. Durch die vollkommene Symmetrie auch längs der gebrochenen Diagonalen kann man sie beliebig horizontal und vertikal verschieben, wenn man die neuen Positionen wie üblich modulo der Ordnung interpretiert. Die Anzahl panmagischer Quadrate, bei denen auch die durch solche Verschiebungen erzeugten Quadrate als gleichwertig angesehen werden, sei P'(n).

Lässt man auch diese Verwandtschaften zu, gibt es bei panmagischen Quadraten 4. Ordnung nur P'(4)=3 unterschiedliche Quadrate. Mit ihren 16 Zellen und bedeutet dies, dass man irgendeine beliebige Zelle auf 16 Zielpositionen schieben kann, also 16 unterschiedliche Verschiebungen. Mit vier Drehungen und zwei Diagonalspiegelungen ergibt sich für die Anzahl der Möglichkeiten

m=3 · 16 · 8=384

Damit sind alle Fragen bis zur 6. Ordnung ausgiebig beantwortet. Ab der 7. Ordnung sind dagegen keine genauen Ergebnisse bekannt und es gibt nur grobe Schätzungen.

Ordnung N(n) P(n) P'(n)
2 0 0 0
3 0 0 0
4 384 48 3
5 28800 3600 144
6 0 0 0
7 ? 38 Mill. ?
8 ? 6,5 Bill. ?