Gerahmte magische Quadrate

Ein gerahmtes oder umrandetes magisches Quadrat ist ein magisches Quadrat, das auch dann noch magisch bleibt, wenn man seinen Rand entfernt. Entfernen wir in dem dargestellten magischen Quadrat der Ordnung 8 die linke und rechte Spalte sowie die oberste und die unterste Zeile. Dann erhalten wir ein neues magisches Quadrat der Ordnung 6.

6449546331053
601516474849205
744224241252158
5133372930283814
632343536312759
826402423433957
5245461817195013
12615611262551
151647484920
442242412521
333729302838
323435363127
264024234339
454618171950

Dieses Quadrat ist zwar nicht mehr normalisiert, besteht also nicht mehr aus den Zahlen 1, 2, … , n2. Es besitzt aber weiterhin die Eigenschaft, dass alle Zeilensummen, alle Spaltensummen und die Diagonalensummen mit S=195 identisch sind.

Als zweite Bedingung für ein gerahmtes magisches Quadrat wird gefordert, dass die Randzahlen die Zahlen des inneren magischen Quadrats umschließen. Bei einem Quadrat der Ordnung n bedeutet dies, dass die Zahlen 1, … ,2(n−1) und n2−2(n−1) + 1 , … , n2 den Rand und die dazwischenliegenden Zahlen das innere Quadrat bilden.

Machen wir uns diese Überlegung an einem Beispiel der Ordnung n=6 klar. Eingeschlossen wird ein Quadrat der Ordnung n=4, welches aus 42=16 Zahlen besteht. Damit wird der Rand von

62 − 42 = 36 − 16 = 20

Zahlen gebildet. Da diese 20 Zahlen das innere Quadrat umschließen müssen, haben wir 10 Zahlen, die kleiner und 10 Zahlen die größer als die Elemente des inneren Quadrats sind. Damit ergibt sich folgende Aufteilung:

untere Randzahlen: 1 … 10
innere Zahlen: 11 … 26
obere Randzahlen: 27 … 36

Damit ergibt sich beispielsweise das folgende gerahmte magische Quadrat sechster Ordnung:

362373231
42613122333
91520211828
271916172210
29142524118
635343051