Magische Quadrate zählen

Obwohl viele Probleme im Umkreis magischer Quadrate seit langer Zeit gelöst sind, gibt es noch einige hartnäckige offene Fragen. So ist z.B. die Anzahl magische Quadrate sechster oder höherer Ordnung nicht bekannt.

Betrachten wir die einzelnen Ordnungen etwas genauer. Es gibt genau ein magisches Quadrat dritter Ordnung, obwohl es durch Spiegelungen und Drehungen in acht verschiedenen Formen auftreten kann. Dagegen gibt es bereits 880 magische Quadrate vierter Ordnung, die wiederum durch Spiegelungen und Drehungen in 7040 verschiedenen Formen auftreten können.

Ab der 5. Ordnung wird es nun wirklich kompliziert. Schauen wir uns das folgende magische Quadrat an, welches mit der Methode von de la Loubère konstruiert wurde. Für die weitere Bearbeitung vermindern wir alle Werte um 1.

17241815
23571416
46132022
101219213
11182529
16230714
22461315
35121921
91118202
10172418

Nun machen wir es scheinbar kompliziert und stellen alle Zahlen im Fünfersystem dar. Dies macht jetzt keinerlei Probleme mehr, da alle Zahlen durch die Subtraktion im Bereich von 0 bis 24 liegen und damit mit zwei Ziffern darzustellen sind.

Zur besseren Übersicht haben wir die Zahlen zusätzlich noch etwas anders dargestellt: die Fünferziffern haben wir als Großbuchstaben und die Einerziffern als Kleinbuchstaben geschrieben. So kann man die verschiedenen Bedeutungen der Ziffern besser unterscheiden.

314301224
424112330
310223441
142133402
203244113
DbEdAaBcCe
EcAeBbCdDa
AdBaCcDeEb
BeCbDdEaAc
CaDcEeAbBd

Mit den folgenden Werten haben wir unser Quadrat erhalten, wobei wir natürlich rückwärts gerechnet wieder alle Werte um 1 erhöhen müssen.

A B C D E a b c d e
0 5 10 15 20 0 1 2 3 4

Es hätten aber auch ganz andere Werte eingesetzt werden können, da die magische Eigenschaft nicht auf speziellen Zahlenwerten basiert, sondern auf der vorhandenen symmetrischen Anordnung der Groß- und Kleinbuchstaben. Machen wir uns klar, welche unterschiedlichen Entscheidungen wir treffen können.

Insgesamt ergeben sich damit für diese Methode 2880 verschiedene magische Quadrate.

m= m1 · m2= 120 · 24=2880

Bei genauerer Untersuchung stellt man aber fest, dass von diesen 2880 magischen Quadraten nur 720 wirklich verschieden sind. Alle anderen lassen sich durch Drehungen und Spiegelungen aus ihnen erzeugen.

Bachet stellte eine Konstruktion vor, die andere 720 magische Quadrate liefert. Mit den anderen Verallgemeinerungen der Methode von Loubère lassen sich wieder andere Quadrate erzeugen. Frühzeitig hat man schon nachgewiesen, dass die Zahl der magischen Quadrate 5. Ordnung mit Sicherheit 13 Millionen übersteigen muss.