Drehungen und Spiegelungen

Schauen wir uns einmal Lo-Shu, das berühmte magische Quadrat 3. Ordnung an.

Selbstverständlich gibt es außer dem Lo-Shu noch weitere magische Quadrate dritter Ordnung. So ist z.B. auch das in Abbildung dargestellten Quadrat magisch.

Doch wer etwas genauer hinschaut, erkennt einen Zusammenhang zwischen diesen beiden Quadraten, denn das zweite Quadrat erhält man durch Spiegelung des Lo-Shu an seiner mittleren Zeile. Durch diese Spiegelung ist unmittelbar klar, dass die magische Eigenschaft erhalten bleibt. Genausogut kann man aber auch an anderen Achsen spiegeln. In jedem dieser Fälle erhält man wieder ein magisches Quadrat, wie in Abbildung zu erkennen ist. Dabei ist die Spiegelachse jeweils besonders gekennzeichnet.

Da durch diese Spiegelungen vier weitere magische Quadrate erzeugt werden, muss man der Versuchung unterliegen, weitere Spiegelachsen zu finden. Dabei fallen natürlich sofort die untere und obere Seite sowie die linke und rechte Seite des Quadrats ins Auge.

Es zeigt sich jedoch, dass bei diesen Spiegelungen keine neuen magischen Quadrate entstehen. Alle Ergebnisse erhält man bereits mit den Spiegelungen an den inneren Achsen.

Anders sieht es allerdings aus, wenn man das Lo-Shu dreht. Durch eine Drehung um 90°, 180° bzw. 270° ergeben drei weitere magische Quadrate dritter Ordnung, während eine Drehung um 360° selbstverständlich wieder das Ausgangsquadrat ergibt.

Ein Vergleich mit den durch eine Spiegelung entstandenen magischen Quadraten zeigt, dass diese Transformationen unterschiedliche Quadrate erzeugen. Die durch eine Spiegelung erzeugten Quadrate können nicht durch eine Drehung erzeugt werden und umgekehrt. Es liegen gewissermaßen getrennte und abgeschlossen Gruppen von Quadraten vor.

Es liegt nun nahe, diese Überlegungen konsequent weiter zu führen und die genannten Spiegelungen und Drehungen miteinander zu kombinieren, also hintereinander auszuführen. Tabelle zeigt die Ergebnisse, wenn das Lo-Shu zunächst an einer der inneren Achse gespiegelt und anschließend noch gedreht wird.

Die Ergebnisse zeigen, dass kein neues magisches Quadrat mehr entsteht. Weiterhin ist interessant, dass alle Ergebnisse innerhalb der schon durch die Spiegelungen erhaltenen Quadrate liegen. Diese Gruppe von nur vier unterschiedlichen Ergebnissen wird also auch durch weitere Drehungen nicht mehr verlassen.

Ähnlich sieht es aus, wenn zunächst eine Drehung und dann eine beliebige Spiegelung ausgeführt wird. Auch hier zeigt sich, dass kein weiteres magisches Quadrat erzeugt werden kann. Nicht ganz überraschend erhält man auch hier insgesamt nur vier unterschiedliche magische Quadrate.

Es auftretenden vier Ergebnisse stimmen zwar in beiden Verknüpfungstabellen überein, jedoch sind die Verknüpfungen nicht kommutativ, d.h. die Reihenfolge der Ausführung spielt eine Rolle und führt zu unterschiedlichen Ergebnissen. Eine Spiegelung an der waagrechten Achse mit anschließender Drehung um 90° führt also zu einem anderen magischen Quadrat als eine Drehung um 90° mit anschließender Spiegelung an der waagrechten Achse.

Wie man auch die Drehungen und Spiegelungen miteinander verknüpft und hintereinander ausführt, es entstehen nie mehr als acht unterschiedliche magische Quadrate. In der Mathematik spricht man auch von der Abgeschlossenheit dieser Transformationsgruppe.

Dies bedeutet, dass wir bei der Zählung magischer Quadrate immer genau darauf achten müssen, ob die angegebenen Zahlen diese Symmetrien mitzählen oder nicht.